Exponentieller Gleitender Durchschnitt In R

Moving Averages in R Nach meinem besten Wissen hat R keine integrierte Funktion zur Berechnung der gleitenden Mittelwerte. Mit der Filterfunktion können wir jedoch eine kurze Funktion für gleitende Mittelwerte schreiben: Wir können die Funktion auf beliebigen Daten verwenden: mav (data) oder mav (data, 11), wenn wir eine andere Anzahl von Datenpunkten angeben wollen Als die Standard-5-Plotterarbeiten wie erwartet: plot (mav (data)). Zusätzlich zu der Anzahl der Datenpunkte, über die gemittelt wird, können wir auch das Seitenargument der Filterfunktionen ändern: sides2 verwendet beide Seiten, Seiten1 verwendet nur vergangene Werte. Teilen Sie diese: Navigation Navigation Kommentar Navigation KommentarnavigationExponential Moving Average - EMA BREAKING DOWN Exponential Moving Average - EMA Die 12- und 26-Tage-EMAs sind die beliebtesten Kurzzeitmittelwerte, und sie werden verwendet, um Indikatoren wie die gleitende durchschnittliche Konvergenzdivergenz zu schaffen (MACD) und dem prozentualen Preisoszillator (PPO). Im Allgemeinen werden die 50- und 200-Tage-EMAs als Signale von langfristigen Trends verwendet. Trader, die technische Analyse verwenden finden fließende Mittelwerte sehr nützlich und aufschlussreich, wenn sie richtig angewendet werden, aber Chaos verursachen, wenn sie falsch verwendet werden oder falsch interpretiert werden. Alle gleitenden Mittelwerte, die gewöhnlich in der technischen Analyse verwendet werden, sind von Natur aus nacheilende Indikatoren. Folglich sollten die Schlussfolgerungen aus der Anwendung eines gleitenden Durchschnitts auf ein bestimmtes Marktdiagramm eine Marktbewegung bestätigen oder ihre Stärke belegen. Sehr oft, bis eine gleitende durchschnittliche Indikatorlinie eine Änderung vorgenommen hat, um eine bedeutende Bewegung auf dem Markt zu reflektieren, ist der optimale Punkt des Markteintritts bereits vergangen. Eine EMA dient dazu, dieses Dilemma zu einem gewissen Grad zu lindern. Da die EMA-Berechnung mehr Gewicht auf die neuesten Daten setzt, umgibt sie die Preisaktion etwas fester und reagiert damit schneller. Dies ist wünschenswert, wenn ein EMA verwendet wird, um ein Handelseintragungssignal abzuleiten. Interpretation der EMA Wie alle gleitenden Durchschnittsindikatoren sind sie für Trendmärkte viel besser geeignet. Wenn der Markt in einem starken und anhaltenden Aufwärtstrend ist. Zeigt die EMA-Indikatorlinie auch einen Aufwärtstrend und umgekehrt einen Abwärtstrend. Ein wachsamer Händler achtet nicht nur auf die Richtung der EMA-Linie, sondern auch auf das Verhältnis der Änderungsgeschwindigkeit von einem Balken zum nächsten. Wenn zum Beispiel die Preisaktion eines starken Aufwärtstrends beginnt, sich zu verflachen und umzukehren, wird die EMA-Rate der Änderung von einem Balken zum nächsten abnehmen, bis zu dem Zeitpunkt, zu dem die Indikatorlinie flacht und die Änderungsrate null ist. Wegen der nacheilenden Wirkung, von diesem Punkt, oder sogar ein paar Takte zuvor, sollte die Preisaktion bereits umgekehrt haben. Daraus folgt, dass die Beobachtung eines konsequenten Abschwächens der Veränderungsrate der EMA selbst als Indikator genutzt werden könnte, der das Dilemma, das durch den nacheilenden Effekt von gleitenden Durchschnittswerten verursacht wird, weiter beheben könnte. Gemeinsame Verwendung der EMA-EMAs werden häufig in Verbindung mit anderen Indikatoren verwendet, um signifikante Marktbewegungen zu bestätigen und deren Gültigkeit zu messen. Für Händler, die intraday und schnelllebigen Märkten handeln, ist die EMA mehr anwendbar. Häufig benutzen Händler EMAs, um eine Handel Bias zu bestimmen. Zum Beispiel, wenn eine EMA auf einer Tages-Chart zeigt einen starken Aufwärtstrend, eine Intraday-Trader-Strategie kann nur von der langen Seite auf einem Intraday-Chart handeln. Using R für Zeitreihenanalyse Zeitreihenanalyse Diese Broschüre zeigt Ihnen, wie Sie verwenden Die R statistische Software, um einige einfache Analysen durchzuführen, die bei der Analyse von Zeitreihendaten üblich sind. Diese Broschüre geht davon aus, dass der Leser über grundlegende Kenntnisse der Zeitreihenanalyse verfügt und der Schwerpunkt der Broschüre nicht darin besteht, die Zeitreihenanalyse zu erläutern, sondern vielmehr zu erläutern, wie diese Analysen mit R durchzuführen sind Analyse und möchte mehr über jedes der hier präsentierten Konzepte erfahren, würde ich empfehlen das Open University Buch 8220Time Serie8221 (Produkt-Code M24902), erhältlich von der Open University Shop. In dieser Broschüre werde ich Zeitreihen-Datensätze verwenden, die von Rob Hyndman in seiner Zeitreihen-Datenbibliothek bei robjhyndmanTSDL freundlicherweise zur Verfügung gestellt wurden. Wenn Sie diese Broschüre mögen, können Sie auch meine Broschüre über die Verwendung von R für die biomedizinische Statistik, a-little-book-of-r-for-biomedical-statistics. readthedocs. org, lesen. Und meine Broschüre über die Verwendung von R für multivariate Analyse, little-book-of-r-for-multivariate-analysis. readthedocs. org. Lesen von Zeitreihen-Daten Das erste, was Sie tun möchten, um Ihre Zeitreihen-Daten zu analysieren, ist, es in R zu lesen und die Zeitreihen zu zeichnen. Sie können Daten in R mit der Funktion scan () lesen, die davon ausgeht, dass sich Ihre Daten für aufeinanderfolgende Zeitpunkte in einer einfachen Textdatei mit einer Spalte befinden. Zum Beispiel enthält die Datei robjhyndmantsdldatamisckings. dat Daten über das Alter des Todes aufeinander folgender Könige von England, beginnend mit Wilhelm dem Eroberer (Originalquelle: Hipel und Mcleod, 1994). Der Datensatz sieht so aus: Es wurden nur die ersten Zeilen der Datei angezeigt. Die ersten drei Zeilen enthalten einen Kommentar zu den Daten, und wir wollen dies ignorieren, wenn wir die Daten in R lesen. Wir können dies verwenden, indem wir den Parameter 8220skip8221 der Funktion scan () verwenden, der angibt, wie viele Zeilen am Anfang von Die Datei zu ignorieren. Um die Datei in R zu lesen, ohne die ersten drei Zeilen zu ignorieren, geben wir ein: In diesem Fall wurde das Alter des Todes von 42 aufeinanderfolgenden Königen von England in die Variable 8216kings8217 eingelesen. Sobald Sie die Zeitreihendaten in R gelesen haben, ist der nächste Schritt, die Daten in einem Zeitreihenobjekt in R zu speichern, so dass Sie R8217s viele Funktionen zur Analyse von Zeitreihendaten verwenden können. Um die Daten in einem Zeitreihenobjekt zu speichern, verwenden wir die Funktion ts () in R. Um beispielsweise die Daten in der Variablen 8216kings8217 als Zeitreihenobjekt in R zu speichern, geben wir Folgendes ein: Manchmal legen die Zeitreihendaten fest, Wurden in regelmäßigen Abständen erhoben, die weniger als ein Jahr betrugen, zum Beispiel monatlich oder vierteljährlich. In diesem Fall können Sie festlegen, wie oft die Daten pro Jahr gesammelt wurden, indem Sie den Parameter 8216frequency8217 in der Funktion ts () verwenden. Für monatliche Zeitreihendaten setzen Sie Frequenz 12, während für vierteljährliche Zeitreihendaten Frequenz4 eingestellt ist. Sie können auch das erste Jahr, in dem die Daten erfasst wurden, und das erste Intervall in diesem Jahr angeben, indem Sie den Parameter 8216start8217 in der Funktion ts () verwenden. Wenn beispielsweise der erste Datenpunkt dem zweiten Quartal 1986 entspricht, würden Sie startc (1986,2) setzen. Ein Beispiel ist ein Datensatz der Anzahl der Geburten pro Monat in New York City, von Januar 1946 bis Dezember 1959 (ursprünglich von Newton gesammelt). Diese Daten sind in der Datei robjhyndmantsdldatadatanybirths. dat verfügbar. Wir können die Daten in R speichern und als Zeitreihenobjekt speichern, indem Sie folgendes eingeben: Ebenso enthält die Datei robjhyndmantsdldatadatafancy. dat monatliche Verkäufe für einen Souvenirladen an einem Strandort Queensland, Australien, für Januar 1987 bis Dezember 1993 (Originaldaten von Wheelwright und Hyndman, 1998). Wir können die Daten in R durch Eingabe lesen: Plotting Time Series Wenn Sie eine Zeitreihe in R gelesen haben, ist der nächste Schritt in der Regel eine Darstellung der Zeitreihendaten, die Sie mit der Funktion plot. ts () machen können In R. Zum Beispiel, um die Zeitreihen des Todesjahres von 42 aufeinanderfolgenden Königen von England zu zeichnen, geben wir ein: Wir können aus dem Zeitplan sehen, dass diese Zeitreihe wahrscheinlich mit einem additiven Modell beschrieben werden könnte, da die zufälligen Schwankungen In den Daten sind über die Zeit grob konstant. Ebenso, um die Zeitreihe der Geburtenzahl pro Monat in New York City zu zeichnen, geben wir ein: Wir können aus dieser Zeitreihe sehen, dass es saisonale Schwankungen in der Anzahl der Geburten pro Monat zu sein scheint: es gibt einen Höhepunkt jeden Sommer , Und ein Trog jeden Winter. Wiederum scheint diese Zeitreihe wahrscheinlich mit einem additiven Modell beschrieben zu werden, da die saisonalen Schwankungen im Laufe der Zeit grob konstant sind und nicht vom Niveau der Zeitreihen abhängen und auch die zufälligen Schwankungen scheinen Ungefähr konstant in der Größe über Zeit. Ähnlich, um die Zeitreihen der monatlichen Verkäufe für die Souvenir-Shop an einem Strand Urlaubsort in Queensland, Australien, geben wir: In diesem Fall scheint es, dass ein additives Modell ist nicht geeignet für die Beschreibung dieser Zeitreihe, da die Größe Der saisonalen Schwankungen und zufälligen Schwankungen scheinen mit dem Niveau der Zeitreihen zu erhöhen. Daher müssen wir möglicherweise die Zeitreihen umwandeln, um eine transformierte Zeitreihe zu erhalten, die mit einem additiven Modell beschrieben werden kann. Zum Beispiel können wir die Zeitreihen durch Berechnen des natürlichen Protokolls der ursprünglichen Daten transformieren: Hier sehen wir, dass die Größe der jahreszeitlichen Schwankungen und zufälligen Schwankungen in den logarithmierten Zeitreihen ungefähr konstant über die Zeit scheinen und dies tun Nicht vom Niveau der Zeitreihen abhängen. Somit können die logarithmierten Zeitreihen mit einem additiven Modell beschrieben werden. Zerlegung der Zeitreihe Die Zerlegung einer Zeitreihe bedeutet, sie in ihre Bestandteile zu zerlegen, die üblicherweise eine Trendkomponente und eine unregelmäßige Komponente sind, und wenn es sich um eine saisonale Zeitreihe handelt, eine saisonale Komponente. Zerlegen von nicht saisonalen Daten Eine nicht saisonale Zeitreihe besteht aus einer Trendkomponente und einer unregelmäßigen Komponente. Das Zerlegen der Zeitreihen erfordert das Trennen der Zeitreihen in diese Komponenten, dh das Abschätzen der Trendkomponente und der unregelmäßigen Komponente. Zur Abschätzung der Trendkomponente einer nicht-saisonalen Zeitreihe, die mit einem additiven Modell beschrieben werden kann, ist es üblich, ein Glättungsverfahren zu verwenden, wie beispielsweise das Berechnen des einfachen gleitenden Durchschnitts der Zeitreihen. Die Funktion SMA () im Paket 8220TTR8221 R kann verwendet werden, um Zeitreihendaten mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt zu glätten. Um diese Funktion nutzen zu können, müssen wir zunächst das Paket 8220TTR8221 R installieren (Anleitungen zur Installation eines R-Pakets finden Sie unter Installieren eines R-Pakets). Sobald Sie das Paket 8220TTR8221 R installiert haben, können Sie das 8220TTR8221 R-Paket laden, indem Sie Folgendes eingeben: Sie können die Funktion 8220SMA () 8221 verwenden, um Zeitreihendaten zu glätten. Um die Funktion SMA () verwenden zu können, müssen Sie mit dem Parameter 8220n8221 die Reihenfolge (span) des einfachen gleitenden Mittels angeben. Um beispielsweise einen einfachen gleitenden Durchschnitt der Ordnung 5 zu berechnen, setzen wir n5 in die SMA () - Funktion. Zum Beispiel ist, wie oben diskutiert, die Zeitreihe des Todesjahres von 42 aufeinanderfolgenden Königen von England nicht saisonal und kann wahrscheinlich mit einem additiven Modell beschrieben werden, da die zufälligen Fluktuationen in den Daten ungefähr konstant sind Zeit: So können wir versuchen, die Trendkomponente dieser Zeitreihe durch Glättung mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt abzuschätzen. Um die Zeitreihen mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt der Ordnung 3 zu glätten und die geglätteten Zeitreihendaten zu zeichnen, geben wir ein: Es scheint immer noch eine Menge zufälliger Schwankungen in der Zeitreihe zu sein, die mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt der Ordnung 3 geglättet wurden. Um die Trendkomponente genauer zu schätzen, möchten wir vielleicht versuchen, die Daten mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt höherer Ordnung zu glätten. Dies dauert ein wenig Trial-and-Error, um die richtige Menge an Glättung zu finden. Zum Beispiel können wir versuchen, einen einfachen gleitenden Durchschnitt der Ordnung 8 zu verwenden: Die Daten, die mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt der Ordnung 8 geglättet wurden, geben ein klareres Bild der Trendkomponente, und wir können sehen, dass das Alter des Todes der englischen Könige scheint Haben von etwa 55 Jahren auf etwa 38 Jahre alt während der Regierungszeit der ersten 20 Könige gesunken und dann nach etwa 73 Jahren nach dem Ende der Herrschaft des 40. Königs in der Zeitreihe erhöht. Zerlegen saisonaler Daten Eine saisonale Zeitreihe besteht aus einer Trendkomponente, einer Saisonkomponente und einer unregelmäßigen Komponente. Das Zerlegen der Zeitreihe bedeutet, die Zeitreihe in diese drei Komponenten zu trennen, dh die drei Komponenten zu schätzen. Zur Abschätzung der Trendkomponente und der saisonalen Komponente einer saisonalen Zeitreihe, die mit einem additiven Modell beschrieben werden kann, können wir die Funktion 8220decompose () 8221 in R verwenden. Diese Funktion schätzt den Trend, die saisonalen und unregelmäßigen Komponenten einer Zeitreihe ab Kann mit einem additiven Modell beschrieben werden. Die Funktion 8220decompose () 8221 gibt als Ergebnis ein Listenobjekt zurück, wobei die Schätzungen der saisonalen Komponente, der Trendkomponente und der unregelmäßigen Komponente in benannten Elementen dieser Listenobjekte mit den Namen 8220seasonal8221, 8220trend8221 bzw. 8220random8221 gespeichert sind. Wie oben diskutiert, ist die Zeitreihe der Geburtenzahl pro Monat in New York City saisonal mit einem Höhepunkt jeden Sommer und Trog jeden Winter und kann wahrscheinlich mit einem additiven Modell beschrieben werden, da die saisonalen und zufälligen Fluktuationen scheinen Werden im Laufe der Zeit grob konstant: Zur Abschätzung der Trend-, Saison-und unregelmäßigen Komponenten dieser Zeitreihe, geben wir: Die Schätzwerte der saisonalen, Trend-und unregelmäßigen Komponenten sind nun in Variablen geburtsstundenspezifischeStrategien, GeburtstundensätzeKomponentenströmung und Geburtstundeneriescomponentsrandom gespeichert. Zum Beispiel können wir die Schätzwerte der Saisonkomponente ausdrucken, indem wir Folgendes eingeben: Die geschätzten saisonalen Faktoren werden für die Monate Januar-Dezember angegeben und sind für jedes Jahr dieselben. Der größte saisonale Faktor ist für Juli (ca. 1,46), und der niedrigste für Februar (ca. -2,08), was darauf hindeutet, dass es im Juli eine Geburtsspitze und im Februar jeden Jahres einen Tiefstand gibt. Mit der Funktion 8220plot () 8221 können wir beispielsweise die geschätzten Trend-, Saison - und unregelmäßigen Komponenten der Zeitreihen darstellen: Die obige Grafik zeigt die ursprüngliche Zeitreihe (oben), die geschätzte Trendkomponente (zweiter von oben), Die geschätzte saisonale Komponente (dritter von oben) und die geschätzte unregelmäßige Komponente (unten). Wir sehen, dass die geschätzte Trendkomponente eine kleine Abnahme von etwa 24 im Jahr 1947 auf etwa 22 im Jahr 1948, gefolgt von einem stetigen Anstieg von dann auf bis zu 27 im Jahr 1959 zeigt. Saisonbereinigt Wenn Sie eine saisonale Zeitreihen, die beschrieben werden können, haben Ein additives Modell, können Sie saisonale Anpassung der Zeitreihe durch die Schätzung der saisonalen Komponente und Subtraktion der geschätzten saisonalen Komponente aus der ursprünglichen Zeitreihe. Wir können dies anhand der Schätzung der Saisonkomponente durch die 8220decompose () 8221-Funktion berechnen. Um beispielsweise die Zeitreihe der Geburtenzahl pro Monat in New York City saisonal anzupassen, können wir die saisonale Komponente mit 8220decompose () 8221 schätzen und dann die saisonale Komponente aus der ursprünglichen Zeitreihe subtrahieren Saisonbereinigte Zeitreihen mit Hilfe der Funktion 8220plot () 8221: Sie können sehen, dass die saisonale Variation aus den saisonbereinigten Zeitreihen entfernt wurde. Die saisonbereinigte Zeitreihe enthält nun nur noch die Trendkomponente und eine unregelmäßige Komponente. Prognosen mit Exponentialglättung Die Exponentialglättung kann verwendet werden, um kurzfristige Prognosen für Zeitreihendaten zu erstellen. Einfache Exponentialglättung Wenn Sie eine Zeitreihe haben, die mit einem additiven Modell mit konstantem Niveau und ohne Saisonalität beschrieben werden kann, können Sie eine einfache exponentielle Glättung verwenden, um kurzfristige Prognosen zu erstellen. Das einfache exponentielle Glättungsverfahren bietet eine Möglichkeit, den Pegel zum aktuellen Zeitpunkt zu schätzen. Die Glättung wird durch den Parameter alpha für die Schätzung des Pegels zum aktuellen Zeitpunkt gesteuert. Der Wert von Alpha liegt zwischen 0 und 1. Werte von Alpha, die nahe bei 0 liegen, bedeuten, dass bei den Prognosen zukünftiger Werte wenig Gewicht auf die jüngsten Beobachtungen gelegt wird. Zum Beispiel enthält die Datei robjhyndmantsdldatahurstprecip1.dat den gesamten jährlichen Niederschlag in Inch für London, von 1813-1912 (Originaldaten von Hipel und McLeod, 1994). Wir können die Daten in R zu lesen und es durch Eingabe schreiben: Sie können aus der Handlung sehen, dass es etwa konstantes Niveau (die mittlere bleibt konstant bei etwa 25 Zoll). Die zufälligen Schwankungen in der Zeitreihe scheinen über die Zeit ungefähr konstant zu sein, so daß es wahrscheinlich geeignet ist, die Daten unter Verwendung eines additiven Modells zu beschreiben. So können wir mit einfachen exponentiellen Glättungen Prognosen erstellen. Um Prognosen mit Hilfe einer einfachen exponentiellen Glättung in R zu erstellen, können wir ein einfaches exponentielles Glättungsvorhersagemodell mit der Funktion 8220HoltWinters () 8221 in R platzieren. Um HoltWinters () zur einfachen exponentiellen Glättung zu verwenden, müssen wir die Parameter betaFALSE und gammaFALSE setzen HoltWinters () - Funktion (die Beta - und Gamma-Parameter werden für die exponentielle Glättung von Holt8217 oder die Exponentialglättung von Holt-Winters verwendet, wie nachfolgend beschrieben). Die Funktion HoltWinters () gibt eine Listenvariable zurück, die mehrere benannte Elemente enthält. Um beispielsweise eine einfache exponentielle Glättung zu verwenden, um Prognosen für die Zeitreihe des jährlichen Niederschlags in London zu erstellen, geben wir ein: Die Ausgabe von HoltWinters () sagt uns, dass der Schätzwert des Alpha-Parameters etwa 0,024 beträgt. Dies ist sehr nahe bei Null und sagt uns, dass die Prognosen auf jüngsten und weniger jüngsten Beobachtungen beruhen (obwohl etwas mehr Gewicht auf die jüngsten Beobachtungen gelegt wird). Standardmäßig erstellt HoltWinters () nur Prognosen für den gleichen Zeitraum, der von unseren ursprünglichen Zeitreihen abgedeckt ist. In diesem Fall umfassten unsere ursprünglichen Zeitreihen Regenfälle für London von 1813-1912, so dass die Prognosen auch für 1813-1912 sind. Im obigen Beispiel haben wir die Ausgabe der Funktion HoltWinters () in der Listenvariablen 8220rainseriesforecasts8221 gespeichert. Die von HoltWinters () erstellten Prognosen werden in einem benannten Element dieser Listenvariablen mit dem Namen 8220fitted8221 gespeichert, so dass wir ihre Werte durch Eingabe erhalten können: Wir können die ursprünglichen Zeitreihen gegen die Prognosen durch Eingabe schreiben: Das Diagramm zeigt die ursprüngliche Zeitreihe Schwarz und die Prognosen als rote Linie. Die Zeitreihen der Prognosen sind viel glatter als die Zeitreihen der ursprünglichen Daten hier. Als Maß für die Genauigkeit der Prognosen können wir die Summe der quadratischen Fehler für die In-Probe-Prognosefehler, dh die Prognosefehler für den Zeitraum, der durch unsere ursprünglichen Zeitreihen abgedeckt ist, berechnen. Die Summe von quadratischen Fehlern wird in einem benannten Element der Listenvariablen 8220rainseriesforecasts8221 mit dem Namen 8220SSE8221 gespeichert, so dass wir ihren Wert erhalten können, indem wir Folgendes eingeben: Das heißt, hier sind die Summenquadratfehler 1828.855. In der einfachen exponentiellen Glättung ist es üblich, den ersten Wert in der Zeitreihe als Anfangswert für den Pegel zu verwenden. Beispielsweise ist in der Zeitreihe für Regen in London der erste Wert 23,56 (Zoll) für Niederschläge 1813. Sie können den Anfangswert für die Ebene in der Funktion HoltWinters () mit dem Parameter 8220l. start8221 angeben. Um zum Beispiel Prognosen mit dem Anfangswert des auf 23.56 eingestellten Pegels vorzunehmen, geben wir Folgendes ein: Wie oben erläutert, erstellt HoltWinters () standardmäßig Prognosen für den Zeitraum, der von den ursprünglichen Daten abgedeckt ist, also 1813-1912 für den Niederschlag Zeitfolgen. Wir können Prognosen für weitere Zeitpunkte machen, indem wir die 8220forecast. HoltWinters () 8221-Funktion im Paket R 8220forecast8221 verwenden. Um die Funktion "forecast. HoltWinters () verwenden zu können, müssen wir zunächst das Paket 8220forecast8221 R installieren (Anweisungen zur Installation eines R-Pakets finden Sie unter R-Paket installieren). Sobald Sie das 8220forecast8221 R-Paket installiert haben, können Sie das 8220forecast8221 R-Paket laden, indem Sie Folgendes eingeben: Wenn Sie die Funktion forecast. HoltWinters () als erstes Argument (input) verwenden, übergeben Sie es dem vordefinierten Modell, HoltWinters () - Funktion. Zum Beispiel haben wir im Fall der Regenzeit-Zeitreihen das Vorhersagemodell unter Verwendung von HoltWinters () in der Variablen 8220rainseriesforecasts8221 gespeichert. Sie legen fest, wieviele weitere Zeitpunkte Sie Prognosen erstellen möchten, indem Sie den Parameter 8220h8221 in der prognose. HoltWinters () verwenden. Um beispielsweise eine Prognose des Niederschlags für die Jahre 1814-1820 (8 weitere Jahre) unter Verwendung von forecast. HoltWinters () zu erstellen, geben wir Folgendes ein: Die prognose. HoltWinters () Funktion gibt Ihnen die Prognose für ein Jahr, ein 80 Vorhersageintervall für Die Prognose und ein 95 Vorhersageintervall für die Prognose. Zum Beispiel ist der prognostizierte Niederschlag für 1920 etwa 24,68 Zoll, mit einem 95 Vorhersageintervall von (16,24, 33,11). Für die Darstellung der Prognosen von forecast. HoltWinters () können wir die Funktion 8220plot. forecast () 8221 verwenden: Hier sind die Prognosen für 1913-1920 als blaue Linie, das 80 Vorhersageintervall als orangefarbener Bereich und die 95-Vorhersageintervall als einen gelben schraffierten Bereich. Die 8216 vorhergesagten Fehler8217 werden als die beobachteten Werte minus vorhergesagten Werten für jeden Zeitpunkt berechnet. Wir können nur die Prognosefehler für den Zeitraum berechnen, der von unserer ursprünglichen Zeitreihe abgedeckt ist, die 1813-1912 für die Niederschlagsdaten ist. Wie oben erwähnt, ist ein Maß für die Genauigkeit des prädiktiven Modells die Summe von quadratischen Fehlern (SSE) für die In-Probe-Prognosefehler. Die In-Sample-Prognosefehler werden im benannten Element 8220residuals8221 der von forecast. HoltWinters () zurückgegebenen Listenvariablen gespeichert. Wenn das prädiktive Modell nicht verbessert werden kann, sollte es keine Korrelationen zwischen den Prognosefehlern für aufeinanderfolgende Prognosen geben. Mit anderen Worten, wenn es Korrelationen zwischen Prognosefehlern für aufeinanderfolgende Prognosen gibt, ist es wahrscheinlich, dass die einfachen exponentiellen Glättungsprognosen durch eine andere Prognosetechnik verbessert werden könnten. Um herauszufinden, ob dies der Fall ist, können wir ein Korrelogramm der In-Sample-Prognosefehler für die Lags 1-20 erhalten. Wir können ein Korrektramm der Prognosefehler mit der Funktion 8220acf () 8221 in R berechnen. Um die maximale Verzögerung anzugeben, die wir betrachten wollen, verwenden wir den Parameter 8220lag. max8221 in acf (). Um beispielsweise ein Korrelogramm der In-Probe-Prognosefehler für die Londoner Niederschlagsdaten für die Lags 1-20 zu berechnen, geben wir Folgendes ein: Aus dem Beispiel-Korrelogram können Sie sehen, dass die Autokorrelation bei Verzögerung 3 gerade die Signifikanzgrenzen berührt. Um zu testen, ob es signifikante Hinweise für Korrelationen ungleich Null in den Lagen 1-20 gibt, können wir einen Ljung-Box-Test durchführen. Dies kann in R mit der Funktion 8220Box. test () 8221 durchgeführt werden. Die maximale Verzögerung, die wir betrachten möchten, wird mit dem Parameter 8220lag8221 in der Box. test () - Funktion angegeben. Um z. B. zu testen, ob Autokorrelationen ungleich Null sind, geben wir für die In-Sample-Prognosefehler für London-Niederschlagsdaten folgende Werte ein: Hier ist die Ljung-Box-Teststatistik 17,4 und der p-Wert 0,6 , So dass es nur wenige Hinweise auf Autokorrelationen von null Null in den In-Sample-Prognosefehlern bei Lags 1-20 gibt. Um sicherzustellen, dass das Vorhersagemodell nicht verbessert werden kann, ist es auch eine gute Idee, zu überprüfen, ob die Prognosefehler normal mit Mittelwert Null und konstanter Varianz verteilt sind. Um zu überprüfen, ob die Prognosefehler eine konstante Varianz aufweisen, können wir eine zeitliche Darstellung der In-Sample-Prognosefehler vornehmen: Die Grafik zeigt, dass die Prognosefehler in der Stichprobe im Vergleich zur Zeit eine annähernd konstante Varianz aufweisen, obwohl die Größe der Fluktuationen in Kann der Beginn der Zeitreihe (1820-1830) etwas geringer sein als zu späteren Zeitpunkten (zB 1840-1850). Um zu überprüfen, ob die Prognosefehler normal mit Null verteilt sind, können wir ein Histogramm der Prognosefehler mit einer überlagerten Normalkurve mit mittlerem Nullpunkt und der gleichen Standardabweichung wie die Verteilung der Prognosefehler darstellen. Dazu können wir eine R-Funktion 8220plotForecastErrors () 8221, unten definieren: Sie müssen die Funktion oben in R kopieren, um sie zu benutzen. Sie können dann plotForecastErrors () verwenden, um ein Histogramm (mit überlagerter Normalkurve) der Prognosefehler für die Niederschlagsvorhersage zu zeichnen: Die Grafik zeigt, dass die Verteilung der Prognosefehler in etwa auf Null zentriert und mehr oder weniger normal verteilt ist Es scheint etwas nach rechts geneigt im Vergleich zu einer normalen Kurve. Allerdings ist der rechte Schräglauf relativ klein, und so ist es plausibel, dass die Prognosefehler normal mit Mittelwert Null verteilt werden. Der Ljung-Box-Test zeigte, dass in den In-Sample-Prognosefehlern nur wenige Anhaltspunkte für Autokorrelationen vorliegen, und die Verteilung der Prognosefehler scheint normal mit Null zu verteilen. Dies legt nahe, dass die einfache exponentielle Glättungsmethode ein adäquates Vorhersagemodell für den Niederschlag in London bereitstellt, das wahrscheinlich nicht verbessert werden kann. Darüber hinaus sind die Annahmen, dass die 80 und 95 Prognoseintervalle auf (dass es keine Autokorrelationen in den Prognosefehlern und die Prognosefehler sind in der Regel mit mittleren Null und konstante Varianz verteilt sind) wahrscheinlich gültig. Holt8217s Exponentielle Glättung Wenn Sie eine Zeitreihe haben, die mit einem additiven Modell mit zunehmendem oder fallendem Trend und ohne Saisonalität beschrieben werden kann, können Sie die exponentielle Glättung von Holt8217 verwenden, um kurzfristige Prognosen zu erstellen. Holt8217s exponentielle Glättung schätzt den Pegel und die Steilheit zum aktuellen Zeitpunkt. Die Glättung wird durch zwei Parameter alpha, für die Schätzung des Pegels zum aktuellen Zeitpunkt und beta für die Schätzung der Steilheit b der Trendkomponente zum aktuellen Zeitpunkt gesteuert. Wie bei der einfachen exponentiellen Glättung haben die Parameter alpha und beta Werte zwischen 0 und 1, und Werte, die nahe bei 0 liegen, bedeuten, dass bei den Prognosen zukünftiger Werte wenig Gewicht auf die jüngsten Beobachtungen gelegt wird. Ein Beispiel für eine Zeitreihe, die vermutlich unter Verwendung eines additiven Modells mit einem Trend und ohne Saisonalität beschrieben werden kann, ist die Zeitreihe des jährlichen Durchmessers von women8217s Röcken am Saum, von 1866 bis 1911. Die Daten sind in der Datei robjhyndmantsdldatarobertsskirts verfügbar. Dat (Originaldaten von Hipel und McLeod, 1994). Wir können die Daten in R einlesen und die Daten darstellen: Wir sehen aus der Verschwörung, dass es einen Anstieg des Saumdurchmessers von etwa 600 im Jahre 1866 auf etwa 1050 im Jahre 1880 gab und dass danach der Saumdurchmesser im Jahre 1911 auf etwa 520 sank Für die Verwendung von HoltWinters () für die exponentielle Glättung von Holt8217 müssen wir den Parameter gammaFALSE setzen (der gamma-Parameter wird für die exponentielle Glättung von Holt-Winters verwendet, wie unten beschrieben). Um z. B. die exponentielle Glättung von Holt8217 zu verwenden, um ein Vorhersagemodell für den Saumdurchmesser zu platzieren, geben wir ein: Der geschätzte Wert für alpha ist 0,84 und für beta 1,00. Diese sind beide hoch und sagen uns, dass sowohl die Schätzung des aktuellen Wertes des Pegels als auch der Steigung b der Trendkomponente hauptsächlich auf sehr jüngsten Beobachtungen in der Zeitreihe beruhen. Das ergibt einen guten, intuitiven Sinn, da sich das Niveau und die Steigung der Zeitreihen im Laufe der Zeit stark verändern. Der Wert der Summe der quadratischen Fehler für die In-Probe-Prognosefehler beträgt 16954. Wir können die ursprüngliche Zeitreihe als schwarze Linie darstellen, wobei die prognostizierten Werte als rote Linie darüber hinaus durch Eingabe von We Kann aus dem Bild erkennen, dass die In-Sample-Prognosen ziemlich gut mit den beobachteten Werten übereinstimmen, obwohl sie dazu neigen, ein wenig hinter den beobachteten Werten zurückzubleiben. Wenn Sie möchten, können Sie die Anfangswerte der Ebene und der Steilheit b der Trendkomponente mit den Argumenten 8220l. start8221 und 8220b. start8221 für die Funktion HoltWinters () angeben. Es ist üblich, den Anfangswert des Pegels auf den ersten Wert in der Zeitreihe (608 für die Röckendaten) und den Anfangswert der Steilheit auf den zweiten Wert abzüglich des ersten Wertes (9 für die Röckendaten) zu setzen. Zum Beispiel, um ein Vorhersagemodell an die Rock-Saumdaten unter Verwendung der exponentiellen Glättung von Holt8217s mit Anfangswerten von 608 für die Ebene und 9 für die Steilheit b der Trendkomponente zu platzieren, geben wir ein: Wie für eine einfache exponentielle Glättung können wir Prognosen machen Für zukünftige Zeiten, die nicht durch die ursprüngliche Zeitreihe abgedeckt werden, indem Sie die prognose. HoltWinters () - Funktion in dem 8220forecast8221-Paket verwenden. Zum Beispiel waren unsere Zeitreihendaten für Rockshems für 1866 bis 1911, so dass wir für 1912 bis 1930 (19 weitere Datenpunkte) Vorhersagen machen und diese mit der Eingabe testen können: Die Prognosen werden als blaue Linie dargestellt, mit der 80 Vorhersageintervalle als ein orange schattierter Bereich und die 95 Vorhersageintervalle als ein gelber schattierter Bereich. Was die einfache exponentielle Glättung betrifft, können wir überprüfen, ob das Vorhersagemodell verbessert werden könnte, indem geprüft wird, ob die In-Probe-Prognosefehler Autokorrelationen ungleich Null an den Lags 1-20 zeigen. Zum Beispiel können wir für die Rockhem-Daten ein Korrelogramm erstellen und den Ljung-Box-Test durchführen: Hier zeigt das Korrelogramm, dass die Stichproben-Autokorrelation für die In-Probe-Prognosefehler bei Verzögerung 5 die Signifikanzgrenzen überschreitet. Allerdings würden wir erwarten, dass ein in 20 der Autokorrelationen für die ersten zwanzig Verzögerungen die 95 Signifikanzgrenzen durch Zufall allein überschreiten. In der Tat, wenn wir den Ljung-Box-Test durchführen, ist der p-Wert 0,47, was darauf hinweist, dass es nur wenige Hinweise auf Autokorrelationen von Null in den In-Sample-Prognosefehlern bei Lags 1-20 gibt. Wie für eine einfache exponentielle Glättung sollten wir auch überprüfen, dass die Prognosefehler eine konstante Varianz über die Zeit haben und normalerweise mit einem Mittelwert Null verteilt sind. Dies kann durch eine zeitliche Darstellung von Prognosefehlern und ein Histogramm der Verteilung von Prognosefehlern mit einer überlagerten Normalkurve erreicht werden: Das Zeitdiagramm von Prognosefehlern zeigt, dass die Prognosefehler eine annähernd konstante Varianz über die Zeit aufweisen. Das Histogramm der Prognosefehler zeigt, dass es plausibel ist, dass die Prognosefehler normal mit Mittelwert Null und konstanter Varianz verteilt sind. So zeigt der Ljung-Box-Test, dass es wenig Hinweise auf Autokorrelationen bei den Prognosefehlern gibt, während das Zeitdiagramm und das Histogramm von Prognosefehlern zeigen, dass es plausibel ist, dass die Prognosefehler normal mit mittlerem Nullwert und konstanter Varianz verteilt sind. Daher können wir schließen, dass Holt8217s exponentielle Glättung ein adäquates Vorhersagemodell für Saumdurchmesser bietet, die sich wahrscheinlich nicht verbessern lassen. Darüber hinaus bedeutet dies, dass die Annahmen, dass die 80 und 95 Vorhersagen Intervalle wurden wahrscheinlich gültig. Holt-Winters Exponentielle Glättung Wenn Sie eine Zeitreihe haben, die mit einem additiven Modell mit zunehmender oder abnehmender Trend - und Saisonalität beschrieben werden kann, können Sie mit Holt-Winters exponentielle Glättung kurzfristige Prognosen erstellen. Holt-Winters exponentielle Glättung schätzt die Höhe, Steilheit und saisonale Komponente zum aktuellen Zeitpunkt. Die Glättung wird durch die drei Parameter alpha, beta und gamma für die Schätzwerte des Pegels, der Steilheit b der Trendkomponente bzw. der Saisonkomponente zum aktuellen Zeitpunkt gesteuert. Die Parameter alpha, beta und gamma haben alle Werte zwischen 0 und 1, und Werte, die nahe bei 0 liegen, bedeuten, dass relativ wenig Gewicht auf die jüngsten Beobachtungen gelegt wird, wenn Prognosen zukünftiger Werte gemacht werden. Ein Beispiel für eine Zeitreihe, die vermutlich unter Verwendung eines additiven Modells mit einer Trend - und Saisonalität beschrieben werden kann, ist die Zeitreihe des Logbuchs der monatlichen Verkäufe für den Souvenirshop an einem Badeort in Queensland, Australien (siehe oben) Können wir ein Vorhersagemodell mit der Funktion HoltWinters () anpassen. Zum Beispiel, um ein Vorhersagemodell für das Protokoll der monatlichen Verkäufe im Souvenirshop zu platzieren, geben wir ein: Die Schätzwerte für alpha, beta und gamma betragen 0,41, 0,00 und 0,96. Der Wert von alpha (0,41) ist relativ niedrig, was anzeigt, daß die Schätzung des Pegels zum gegenwärtigen Zeitpunkt auf beiden jüngsten Beobachtungen und einigen Beobachtungen in der entfernteren Vergangenheit basiert. Der Wert von beta ist 0,00, was anzeigt, dass die Schätzung der Steigung b der Trendkomponente nicht über die Zeitreihen aktualisiert wird und statt dessen gleich ihrem Anfangswert gesetzt wird. Dies macht einen guten intuitiven Sinn, da sich der Pegel über die Zeitreihen hinweg ziemlich ändert, aber die Steigung b der Trendkomponente etwa gleich bleibt. Im Gegensatz dazu ist der Wert von gamma (0,96) hoch, was anzeigt, daß die Schätzung der saisonalen Komponente zum gegenwärtigen Zeitpunkt gerade auf sehr jüngsten Beobachtungen basiert. Was die einfache exponentielle Glättung und die exponentielle Glättung von Holt8217 betrifft, so können wir die ursprünglichen Zeitreihen als schwarze Linie darstellen, wobei die prognostizierten Werte als rote Linie dahinter stehen: Wir sehen aus der Handlung, daß die exponentielle Methode von Holt-Winters sehr erfolgreich ist Bei der Vorhersage der saisonalen Spitzen, die etwa im November jedes Jahr auftreten. Um Prognosen für zukünftige Zeiten, die nicht in der ursprünglichen Zeitreihe enthalten sind, zu verwenden, verwenden wir die 8220forecast. HoltWinters () 8221-Funktion in dem 8220forecast8221-Paket. Zum Beispiel sind die ursprünglichen Daten für die Souvenirverkäufe von Januar 1987 bis Dezember 1993. Wenn wir für Januar 1994 bis Dezember 1998 (48 Monate) Prognosen erstellen und die Prognosen erstellen wollten, würden wir: Die Prognosen werden als angezeigt Eine blaue Linie, und die orange und gelb schraffierten Bereiche zeigen jeweils 80 bzw. 95 Vorhersageintervalle. Wir können untersuchen, ob das Vorhersagemodell verbessert werden kann, indem geprüft wird, ob die In-Sample-Prognosefehler Autokorrelationen ungleich Null an den Lags 1-20 zeigen, indem sie ein Korrelogramm durchführen und den Ljung-Box-Test durchführen: Das Korrelogram zeigt, dass die Autokorrelationen Denn die In-Probe-Prognosefehler übersteigen nicht die Signifikanzgrenzen für die Lags 1-20. Darüber hinaus ist der p-Wert für den Ljung-Box-Test 0,6, was anzeigt, dass es wenig Hinweise auf Autokorrelationen von null Null in den Lagen 1-20 gibt. Wir können überprüfen, ob die Prognosefehler eine konstante Varianz über die Zeit haben und normalerweise mit Mittelwert Null verteilt werden, indem wir ein Zeitdiagramm der Prognosefehler und ein Histogramm (mit überlagerter Normalkurve) verteilen: Aus der Zeitdarstellung scheint es plausibel, dass die Vorhersagefehler haben konstante Abweichung über Zeit. From the histogram of forecast errors, it seems plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero. Thus, there is little evidence of autocorrelation at lags 1-20 for the forecast errors, and the forecast errors appear to be normally distributed with mean zero and constant variance over time. This suggests that Holt-Winters exponential smoothing provides an adequate predictive model of the log of sales at the souvenir shop, which probably cannot be improved upon. Furthermore, the assumptions upon which the prediction intervals were based are probably valid. ARIMA Models Exponential smoothing methods are useful for making forecasts, and make no assumptions about the correlations between successive values of the time series. However, if you want to make prediction intervals for forecasts made using exponential smoothing methods, the prediction intervals require that the forecast errors are uncorrelated and are normally distributed with mean zero and constant variance. While exponential smoothing methods do not make any assumptions about correlations between successive values of the time series, in some cases you can make a better predictive model by taking correlations in the data into account. Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) models include an explicit statistical model for the irregular component of a time series, that allows for non-zero autocorrelations in the irregular component. Differencing a Time Series ARIMA models are defined for stationary time series. Therefore, if you start off with a non-stationary time series, you will first need to 8216difference8217 the time series until you obtain a stationary time series. If you have to difference the time series d times to obtain a stationary series, then you have an ARIMA(p, d,q) model, where d is the order of differencing used. You can difference a time series using the 8220diff()8221 function in R. For example, the time series of the annual diameter of women8217s skirts at the hem, from 1866 to 1911 is not stationary in mean, as the level changes a lot over time: We can difference the time series (which we stored in 8220skirtsseries8221, see above) once, and plot the differenced series, by typing: The resulting time series of first differences (above) does not appear to be stationary in mean. Therefore, we can difference the time series twice, to see if that gives us a stationary time series: Formal tests for stationarity Formal tests for stationarity called 8220unit root tests8221 are available in the fUnitRoots package, available on CRAN, but will not be discussed here. The time series of second differences (above) does appear to be stationary in mean and variance, as the level of the series stays roughly constant over time, and the variance of the series appears roughly constant over time. Thus, it appears that we need to difference the time series of the diameter of skirts twice in order to achieve a stationary series. If you need to difference your original time series data d times in order to obtain a stationary time series, this means that you can use an ARIMA(p, d,q) model for your time series, where d is the order of differencing used. For example, for the time series of the diameter of women8217s skirts, we had to difference the time series twice, and so the order of differencing (d) is 2. This means that you can use an ARIMA(p,2,q) model for your time series. The next step is to figure out the values of p and q for the ARIMA model. Another example is the time series of the age of death of the successive kings of England (see above): From the time plot (above), we can see that the time series is not stationary in mean. To calculate the time series of first differences, and plot it, we type: The time series of first differences appears to be stationary in mean and variance, and so an ARIMA(p,1,q) model is probably appropriate for the time series of the age of death of the kings of England. By taking the time series of first differences, we have removed the trend component of the time series of the ages at death of the kings, and are left with an irregular component. We can now examine whether there are correlations between successive terms of this irregular component if so, this could help us to make a predictive model for the ages at death of the kings. Selecting a Candidate ARIMA Model If your time series is stationary, or if you have transformed it to a stationary time series by differencing d times, the next step is to select the appropriate ARIMA model, which means finding the values of most appropriate values of p and q for an ARIMA(p, d,q) model. To do this, you usually need to examine the correlogram and partial correlogram of the stationary time series. To plot a correlogram and partial correlogram, we can use the 8220acf()8221 and 8220pacf()8221 functions in R, respectively. To get the actual values of the autocorrelations and partial autocorrelations, we set 8220plotFALSE8221 in the 8220acf()8221 and 8220pacf()8221 functions. Example of the Ages at Death of the Kings of England For example, to plot the correlogram for lags 1-20 of the once differenced time series of the ages at death of the kings of England, and to get the values of the autocorrelations, we type: We see from the correlogram that the autocorrelation at lag 1 (-0.360) exceeds the significance bounds, but all other autocorrelations between lags 1-20 do not exceed the significance bounds. To plot the partial correlogram for lags 1-20 for the once differenced time series of the ages at death of the English kings, and get the values of the partial autocorrelations, we use the 8220pacf()8221 function, by typing: The partial correlogram shows that the partial autocorrelations at lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, are negative, and are slowly decreasing in magnitude with increasing lag (lag 1: -0.360, lag 2: -0.335, lag 3:-0.321). The partial autocorrelations tail off to zero after lag 3. Since the correlogram is zero after lag 1, and the partial correlogram tails off to zero after lag 3, this means that the following ARMA (autoregressive moving average) models are possible for the time series of first differences: an ARMA(3,0) model, that is, an autoregressive model of order p3, since the partial autocorrelogram is zero after lag 3, and the autocorrelogram tails off to zero (although perhaps too abruptly for this model to be appropriate) an ARMA(0,1) model, that is, a moving average model of order q1, since the autocorrelogram is zero after lag 1 and the partial autocorrelogram tails off to zero an ARMA(p, q) model, that is, a mixed model with p and q greater than 0, since the autocorrelogram and partial correlogram tail off to zero (although the correlogram probably tails off to zero too abruptly for this model to be appropriate) We use the principle of parsimony to decide which model is best: that is, we assume that the model with the fewest parameters is best. The ARMA(3,0) model has 3 parameters, the ARMA(0,1) model has 1 parameter, and the ARMA(p, q) model has at least 2 parameters. Therefore, the ARMA(0,1) model is taken as the best model. An ARMA(0,1) model is a moving average model of order 1, or MA(1) model. This model can be written as: Xt - mu Zt - (theta Zt-1), where Xt is the stationary time series we are studying (the first differenced series of ages at death of English kings), mu is the mean of time series Xt, Zt is white noise with mean zero and constant variance, and theta is a parameter that can be estimated. A MA (moving average) model is usually used to model a time series that shows short-term dependencies between successive observations. Intuitively, it makes good sense that a MA model can be used to describe the irregular component in the time series of ages at death of English kings, as we might expect the age at death of a particular English king to have some effect on the ages at death of the next king or two, but not much effect on the ages at death of kings that reign much longer after that. Shortcut: the auto. arima() function The auto. arima() function can be used to find the appropriate ARIMA model, eg. type 8220library(forecast)8221, then 8220auto. arima(kings)8221. The output says an appropriate model is ARIMA(0,1,1). Since an ARMA(0,1) model (with p0, q1) is taken to be the best candidate model for the time series of first differences of the ages at death of English kings, then the original time series of the ages of death can be modelled using an ARIMA(0,1,1) model (with p0, d1, q1, where d is the order of differencing required). Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere Let8217s take another example of selecting an appropriate ARIMA model. The file file robjhyndmantsdldataannualdvi. dat contains data on the volcanic dust veil index in the northern hemisphere, from 1500-1969 (original data from Hipel and Mcleod, 1994). This is a measure of the impact of volcanic eruptions8217 release of dust and aerosols into the environment. We can read it into R and make a time plot by typing: From the time plot, it appears that the random fluctuations in the time series are roughly constant in size over time, so an additive model is probably appropriate for describing this time series. Furthermore, the time series appears to be stationary in mean and variance, as its level and variance appear to be roughly constant over time. Therefore, we do not need to difference this series in order to fit an ARIMA model, but can fit an ARIMA model to the original series (the order of differencing required, d, is zero here). We can now plot a correlogram and partial correlogram for lags 1-20 to investigate what ARIMA model to use: We see from the correlogram that the autocorrelations for lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, and that the autocorrelations tail off to zero after lag 3. The autocorrelations for lags 1, 2, 3 are positive, and decrease in magnitude with increasing lag (lag 1: 0.666, lag 2: 0.374, lag 3: 0.162). The autocorrelation for lags 19 and 20 exceed the significance bounds too, but it is likely that this is due to chance, since they just exceed the significance bounds (especially for lag 19), the autocorrelations for lags 4-18 do not exceed the signifiance bounds, and we would expect 1 in 20 lags to exceed the 95 significance bounds by chance alone. From the partial autocorrelogram, we see that the partial autocorrelation at lag 1 is positive and exceeds the significance bounds (0.666), while the partial autocorrelation at lag 2 is negative and also exceeds the significance bounds (-0.126). The partial autocorrelations tail off to zero after lag 2. Since the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2, the following ARMA models are possible for the time series: an ARMA(2,0) model, since the partial autocorrelogram is zero after lag 2, and the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2 an ARMA(0,3) model, since the autocorrelogram is zero after lag 3, and the partial correlogram tails off to zero (although perhaps too abruptly for this model to be appropriate) an ARMA(p, q) mixed model, since the correlogram and partial correlogram tail off to zero (although the partial correlogram perhaps tails off too abruptly for this model to be appropriate) Shortcut: the auto. arima() function Again, we can use auto. arima() to find an appropriate model, by typing 8220auto. arima(volcanodust)8221, which gives us ARIMA(1,0,2), which has 3 parameters. However, different criteria can be used to select a model (see auto. arima() help page). If we use the 8220bic8221 criterion, which penalises the number of parameters, we get ARIMA(2,0,0), which is ARMA(2,0): 8220auto. arima(volcanodust, ic8221bic8221)8221. The ARMA(2,0) model has 2 parameters, the ARMA(0,3) model has 3 parameters, and the ARMA(p, q) model has at least 2 parameters. Therefore, using the principle of parsimony, the ARMA(2,0) model and ARMA(p, q) model are equally good candidate models. An ARMA(2,0) model is an autoregressive model of order 2, or AR(2) model. This model can be written as: Xt - mu (Beta1 (Xt-1 - mu)) (Beta2 (Xt-2 - mu)) Zt, where Xt is the stationary time series we are studying (the time series of volcanic dust veil index), mu is the mean of time series Xt, Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated, and Zt is white noise with mean zero and constant variance. An AR (autoregressive) model is usually used to model a time series which shows longer term dependencies between successive observations. Intuitively, it makes sense that an AR model could be used to describe the time series of volcanic dust veil index, as we would expect volcanic dust and aerosol levels in one year to affect those in much later years, since the dust and aerosols are unlikely to disappear quickly. If an ARMA(2,0) model (with p2, q0) is used to model the time series of volcanic dust veil index, it would mean that an ARIMA(2,0,0) model can be used (with p2, d0, q0, where d is the order of differencing required). Similarly, if an ARMA(p, q) mixed model is used, where p and q are both greater than zero, than an ARIMA(p,0,q) model can be used. Forecasting Using an ARIMA Model Once you have selected the best candidate ARIMA(p, d,q) model for your time series data, you can estimate the parameters of that ARIMA model, and use that as a predictive model for making forecasts for future values of your time series. You can estimate the parameters of an ARIMA(p, d,q) model using the 8220arima()8221 function in R. Example of the Ages at Death of the Kings of England For example, we discussed above that an ARIMA(0,1,1) model seems a plausible model for the ages at deaths of the kings of England. You can specify the values of p, d and q in the ARIMA model by using the 8220order8221 argument of the 8220arima()8221 function in R. To fit an ARIMA(p, d,q) model to this time series (which we stored in the variable 8220kingstimeseries8221, see above), we type: As mentioned above, if we are fitting an ARIMA(0,1,1) model to our time series, it means we are fitting an an ARMA(0,1) model to the time series of first differences. An ARMA(0,1) model can be written Xt - mu Zt - (theta Zt-1), where theta is a parameter to be estimated. From the output of the 8220arima()8221 R function (above), the estimated value of theta (given as 8216ma18217 in the R output) is -0.7218 in the case of the ARIMA(0,1,1) model fitted to the time series of ages at death of kings. Specifying the confidence level for prediction intervals You can specify the confidence level for prediction intervals in forecast. Arima() by using the 8220level8221 argument. For example, to get a 99.5 prediction interval, we would type 8220forecast. Arima(kingstimeseriesarima, h5, levelc(99.5))8221. We can then use the ARIMA model to make forecasts for future values of the time series, using the 8220forecast. Arima()8221 function in the 8220forecast8221 R package. For example, to forecast the ages at death of the next five English kings, we type: The original time series for the English kings includes the ages at death of 42 English kings. The forecast. Arima() function gives us a forecast of the age of death of the next five English kings (kings 43-47), as well as 80 and 95 prediction intervals for those predictions. The age of death of the 42nd English king was 56 years (the last observed value in our time series), and the ARIMA model gives the forecasted age at death of the next five kings as 67.8 years. We can plot the observed ages of death for the first 42 kings, as well as the ages that would be predicted for these 42 kings and for the next 5 kings using our ARIMA(0,1,1) model, by typing: As in the case of exponential smoothing models, it is a good idea to investigate whether the forecast errors of an ARIMA model are normally distributed with mean zero and constant variance, and whether the are correlations between successive forecast errors. For example, we can make a correlogram of the forecast errors for our ARIMA(0,1,1) model for the ages at death of kings, and perform the Ljung-Box test for lags 1-20, by typing: Since the correlogram shows that none of the sample autocorrelations for lags 1-20 exceed the significance bounds, and the p-value for the Ljung-Box test is 0.9, we can conclude that there is very little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors at lags 1-20. To investigate whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we can make a time plot and histogram (with overlaid normal curve) of the forecast errors: The time plot of the in-sample forecast errors shows that the variance of the forecast errors seems to be roughly constant over time (though perhaps there is slightly higher variance for the second half of the time series). The histogram of the time series shows that the forecast errors are roughly normally distributed and the mean seems to be close to zero. Therefore, it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. Since successive forecast errors do not seem to be correlated, and the forecast errors seem to be normally distributed with mean zero and constant variance, the ARIMA(0,1,1) does seem to provide an adequate predictive model for the ages at death of English kings. Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere We discussed above that an appropriate ARIMA model for the time series of volcanic dust veil index may be an ARIMA(2,0,0) model. To fit an ARIMA(2,0,0) model to this time series, we can type: As mentioned above, an ARIMA(2,0,0) model can be written as: written as: Xt - mu (Beta1 (Xt-1 - mu)) (Beta2 (Xt-2 - mu)) Zt, where Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated. The output of the arima() function tells us that Beta1 and Beta2 are estimated as 0.7533 and -0.1268 here (given as ar1 and ar2 in the output of arima()). Now we have fitted the ARIMA(2,0,0) model, we can use the 8220forecast. ARIMA()8221 model to predict future values of the volcanic dust veil index. The original data includes the years 1500-1969. To make predictions for the years 1970-2000 (31 more years), we type: We can plot the original time series, and the forecasted values, by typing: One worrying thing is that the model has predicted negative values for the volcanic dust veil index, but this variable can only have positive values The reason is that the arima() and forecast. Arima() functions don8217t know that the variable can only take positive values. Clearly, this is not a very desirable feature of our current predictive model. Again, we should investigate whether the forecast errors seem to be correlated, and whether they are normally distributed with mean zero and constant variance. To check for correlations between successive forecast errors, we can make a correlogram and use the Ljung-Box test: The correlogram shows that the sample autocorrelation at lag 20 exceeds the significance bounds. However, this is probably due to chance, since we would expect one out of 20 sample autocorrelations to exceed the 95 significance bounds. Furthermore, the p-value for the Ljung-Box test is 0.2, indicating that there is little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors for lags 1-20. To check whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we make a time plot of the forecast errors, and a histogram: The time plot of forecast errors shows that the forecast errors seem to have roughly constant variance over time. However, the time series of forecast errors seems to have a negative mean, rather than a zero mean. We can confirm this by calculating the mean forecast error, which turns out to be about -0.22: The histogram of forecast errors (above) shows that although the mean value of the forecast errors is negative, the distribution of forecast errors is skewed to the right compared to a normal curve. Therefore, it seems that we cannot comfortably conclude that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance Thus, it is likely that our ARIMA(2,0,0) model for the time series of volcanic dust veil index is not the best model that we could make, and could almost definitely be improved upon Links and Further Reading Here are some links for further reading. For a more in-depth introduction to R, a good online tutorial is available on the 8220Kickstarting R8221 website, cran. r-project. orgdoccontribLemon-kickstart . There is another nice (slightly more in-depth) tutorial to R available on the 8220Introduction to R8221 website, cran. r-project. orgdocmanualsR-intro. html . You can find a list of R packages for analysing time series data on the CRAN Time Series Task View webpage . To learn about time series analysis, I would highly recommend the book 8220Time series8221 (product code M24902) by the Open University, available from the Open University Shop . There are two books available in the 8220Use R8221 series on using R for time series analyses, the first is Introductory Time Series with R by Cowpertwait and Metcalfe, and the second is Analysis of Integrated and Cointegrated Time Series with R by Pfaff. Acknowledgements I am grateful to Professor Rob Hyndman. for kindly allowing me to use the time series data sets from his Time Series Data Library (TSDL) in the examples in this booklet. Many of the examples in this booklet are inspired by examples in the excellent Open University book, 8220Time series8221 (product code M24902), available from the Open University Shop . Thank you to Ravi Aranke for bringing auto. arima() to my attention, and Maurice Omane-Adjepong for bringing unit root tests to my attention, and Christian Seubert for noticing a small bug in plotForecastErrors(). Thank you for other comments to Antoine Binard and Bill Johnston. I will be grateful if you will send me (Avril Coghlan) corrections or suggestions for improvements to my email address alc 64 sanger 46 ac 46 uk